4   SISTEMES  DE  PUNTS  MATERIALS



4.1   Càlcul del centre de massa d'un sistema de punts materials.
Calculeu el c.d.m. d'un sistema format per tres punts materials de masses 3, 1 i 6 kg situats als punts (0, 0), (2, 0) i (1, 2) m respectivament : (0,8 , 1,2) m.


4.2   Càlcul del centre de massa d'una figura plana.
Disposem d'un full de paper de 20 cm d'amplada i 30 cm d'alçada que té una densitat superficial de 80 g/m². El pleguem de forma que el vèrtex superior dret i tot el costat de dalt coincideixin sobre el costat de l'esquerra. Quina és la posició del c.d.m.? : (7,78 , 12,78) cm.


4.3   Càlcul del centre de massa d'un sistema continu. *
Tenim una semiesfera massissa i homogènia de radi R que té la seva base (la zona circular) sobre el pla XY i que té simetria de rotació al voltant de l'eix Z. Demostreu que la posició del c.d.m. és : (0, 0, 3R/8).


4.4   Velocitat del centre de massa.
Un home de 80 kg està sobre un carretó de 40 kg que roda sobre terra a 2 m/s. Salta fora del carretó amb una velocitat relativa al sòl d'1 m/s en sentit contrari al moviment. Calculeu:
  a)   La velocitat del c.d.m. del sistema quan l'home acaba de saltar : 2 m/s.
  b)   La velocitat del carretó després de saltar l'home : 8 m/s.
  c)   La velocitat del c.d.m. del sistema quan l'home acaba d'arribar a terra i queda quiet : 2,67 m/s.
  d)   L'energia gastada per l'home en saltar : 1080 J.


4.5   Acceleració del centre de massa.
Un punt material A, situat al (0 , 0) m i de massa 2 kg, i un altre B, situat al (2 , 0) i de massa 4 kg, s'exerceixen forces de tipus atractiu i de mòdul 2 N. A més, cada punt material està sotmès a una força exterior: F_A = -4i N i F_B = 8i N. Si a l'instant t = 0 s, els dos punts materials estan en repòs, trobeu:
  a)   L'equació del moviment de cada punt material i la del moviment del centre de masses : r_A = -(t²/2)i, r_B = (0,75t² + 2)i, r_G = (t²/3 + 4/3)i m.
  b)   L'acceleració del centre de masses, a partir de les respostes anteriors : (2/3)i m/s².
  c)   Comproveu que : (m_A + m_B)a_G = ΣF_ext.


4.6   Xoc inelàstic monodimensional.
Un patinador de 85 kg es troba inicialment en repòs. Una companya li llança una bola de 1,6 kg amb una velocitat de 12 m/s. El patinador recull la bola i la guarda. Trobeu:
  a)   La velocitat del patinador després de rebre la bola : 0,22 m/s.
  b)   La pèrdua d'energia cinètica : 113 J.


4.7   Xoc elàstic monodimensional.
Una partícula A de massa 1 kg, que es mou amb una velocitat de 8 m/s, xoca elàsticament amb una partícula B de massa 4 kg, que estava en repòs. Calculeu les velocitats finals d'ambdues partícules utilitzant el sistema de referència del laboratori i el del centre de massa : v_A = -4,8 m/s i v_B = 3,2 m/s.


4.8   Xoc parcialment elàstic i energia mecànica.
Es deixa caure una bola d'acer sobre una superfície horitzontal de marbre, des d'una altura h. Després del xoc, la bola torna a pujar fins una altura h' = 0,8h. Trobeu:
  a)   El coeficient de restitució del sistema bola-marbre : 0,894.
  b)   L'altura que assolirà la bola després del segon rebot : 0,64h m.


4.9   Xoc parcialment elàstic i energia tèrmica.
Un home colpeja una planxa de ferro, que està fixa, amb un martell de 0,5 kg. La velocitat en el moment de l'impacte és 1 m/s. Si el coeficient de restitució val 0,5, trobeu la quantitat de calor que s'origina en el xoc : 0,1875 J.


4.10   Xoc inelàstic bidimensional.
Un cotxe de 2000 kg de massa va cap al nord a 54 km/h i xoca, quedant encastat, amb un camió de 4 tones de massa que anava cap a l'est a 13 m/s. Calculeu el mòdul i l'angle de la velocitat final del conjunt : 10 m/s i 30º.


4.11   Xoc elàstic i vectors.
Un cos A, de massa m_A, que es mou amb una velocitat constant v_A = v_Ai, xoca elàsticament amb un altre cos B que es troba en repòs. Si el xoc és frontal i els cossos se separen en sentits contraris amb velocitats d'igual mòdul, trobeu:
  a)   La relació de les masses : m_B/m_A = 3.
  b)   Les velocitats finals : v_B = (v_A/2)i, v_A = -v_B.


4.12   Xoc inelàstic, treball i energia.
Una pedra de 300 kg cau des de 5 m sobre d'una estaca de 200 kg clavada a terra. A causa del cop, la pedra i l'estaca baixen conjuntament, introduint-se 15 cm fins que es paren. Suposant que g = 10 m/s², quan val la força que fa el terra sobre l'estaca? : 65000 N, cap amunt.


4.13   Explosió.
Una explosió trenca una roca, que estava en repòs, en tres fragments A, B i C, de masses m_A = m_B = 14 kg i m_C. El tros A surt amb una velocitat de 12i m/s, el tros B a 10j m/s i el tros C amb una rapidesa de 48 m/s. Trobeu:
  a)   La massa del cos C : 4,556 kg.
  b)   La seva direcció : 219,8º.


4.14   Objectes incrustats lliscant.
Una bala de 10 g s'incrusta en un bloc de 990 g que estava quiet sobre una superfície plana amb un coeficient de fregament de 0,2 . Si l'espai que recorren conjuntament abans d'aturar-se és de 4 m, quina era la velocitat inicial de la bala? (g = 10 m/s²) : 400 m/s.


4.15   Objectes incrustats comprimint una molla.
Un bloc de fusta d'1 kg està sobre un pla horitzontal sense fregament i fixat a una molla sense massa de constant elàstica 200 N/m . L'altre extrem de la molla està collat a la paret. Es dispara contra el bloc un projectil de 20 g. A causa del xoc, la bala queda incrustada en la fusta i llavors el conjunt comprimeix la molla 13,3 cm. Quina era la velocitat inicial del projectil? : 95 m/s.


4.16   Objectes comprimint una molla.
Una molla de massa negligible i de constant elàstica 1 kN/m es comprimeix una longitud de 20 cm entre dues masses de 2 i 8 kg. La molla es deixa lliure sobre una taula llisa. Com que les masses no estan subjectes a la molla, es mouen allunyant-se. Calculeu les velocitats : -4 i 1 m/s respectivament.


4.17   Pèndol balístic.
Un projectil de 50 g es clava en un cos de 0,45 kg de massa que penja d'un fil de 10 m de llarg. El conjunt oscil·la separant-se 60º de la vertical. Suposant g = 10 m/s², quina era la velocitat inicial de la bala? : 100 m/s.


Retorn