RESOLUCIÓ D'EQUACIONS

Mètodes numèrics per a la resolució d'equacions.
Amb calculadora o amb ordinador.

ITERACIÓ
Moltes equacions no es poden resoldre de manera exacta amb cap fórmula, o bé és bastant laboriós (com l'equació de tercer grau), per tant convé tenir algun sistem per obtenir la seva solució aproximada, però tan exacta com vulguem.
Certament, moltes calculadores porten programes que fan aquesta tasca. Tanmateix, hi ha casos en els quals no les podem utilitzar (o no les sabem fer anar) per això hi ha la "iteració" que consisteix en utlitzar una aproximació de la solució per trobar-ne una millor i així succesivament fins que la nova solució sigui igual que l'anterior.
La iteració pot ser de diversos tipus. El més senzill, però que falla moltes vegades, consisteix en aïllar una incògnita de l'equació i fer-la servir per obtenir una millor aproximació. Per exemple, suposem l'equació:
e^x - 4x = 0 (solució: x = 0,357402956)
Aïllem la x tot fent: x = e^x / 4. Comencem donant un valor arbitrari, però raonable, a la x, per exemple fem x = 0 a l'expressió de la dreta i calculem la nova x. Obtindrem: x = e⁰ / 4 = 1 / 4 = 0,25 que és una aproximació millor que 0. Seguidament utilitzem el 0,25 per obtenir una altra aproximació: x = e^0,25 / 4 = 1,28 / 4 = 0,31 que és una altra aproximació encara millor. Si anem continuant obtindrem successivament: 0 ; 0,25 ; 0,32 ; 0,34 ; 0,35 ; 0,36 ; 0,36 ... i com que el resultat es repeteix, la solució ha de ser 0,36 (amb dues xifres significatives).
Un sistema és ràpid i que quasi sempre funciona, però més complicat de realitzar, utilitza per a la iteració la fórmula de Newton-Raphson:

x_nova = x - f (x) / f '(x)
A on f '(x) significa la derivada de f (x). Apliquem-ho a l'exemple anterior: f (x) = e^x - 4x ; f '(x) = e^x - 4 . La la fórmula queda: x_nova = x - (e^x - 4x) / (e^x - 4) . Comencem la iteració com abans per x = 0 a la part dreta. Obtindrem: 0 - (1 - 4 · 0) / (1 - 4) = 0,333 . Si repetim amb x = 0,333 a la part dreta dóna: 0,333 - (1,396 - 1,333) / (1,396 - 4) = 0,357 .
Cal destacar que en tan sols dos passos s'ha obtingut la solució amb tres xifres exactes.
El mètode no falla quasi mai si es tria adequadament la aproximació inicial.

EXCEL
El full de càlcul Excel de Microsoft té una aplicació per resoldre equacions que s'anomena Solver i que molta gent no coneix.
En primer lloc cal comprovar que estigui instal·lat. Per això mireu al menú Herramientas a veure si hi és. En cas contrari elegiu Complementos, si està allí activeu la casella adjunta i accepteu. Si no hi era, caldrà tornar a fer la instal·lació assegurant-se de seleccionar l'opció del Solver.
Un cop segurs que el tenim, passem a seleccionar un nom per una cel·la, per exemple la $A$1 podria ser X de la nostra equació. Per fer això feu: menú Insertar, Nombre, Definir... i a "Nombres en el libro" escriviu X. Feu Agregar i quan la X estigui al requadre, i tot mirant que a "Se refiere a" digui =Hoja1!$A$1 , premeu Aceptar.
L'equació s'introduïrà en la "Celda objetivo" que pot ser, per exemple, la del costat $B$1. Per fer-ho, cliqueu-la i a la barra de fórmules escriviu: =EXP(X)-4*X i accepteu.
Finalment, del menú Herramientas executeu el Solver... i al quadre de diàleg assegureu-vos de seleccionar: Celda objetivo: $B$1 , Valor de la celda objetivo: Valores de 0 , Cambiando las celdas: X. Premeu Resolver i a X ($A$1) apareixerà el resultat 0,357403062 i a $B$1 el valor de f (X) = -2,70893E-07 que és molt proper a 0. Al quadre de diàleg del Solver a Opciones podeu modificar la precisió i altres paràmetres.

Tornar a la pàgina anterior